ゲーム理論入門/戦略形ゲーム

戦略形ゲーム †

ここでは人々が「同時に」行動するようなケースでの意思決定について考えていく。

戦略形ゲームの定義 †

以下の3つの要素

• プレイヤーの集合 N=1,2,...,n
• 各プレイヤーの戦略集合 S_1,S_2,...,S_n
• 各プレイヤーの利得関数 u_1,u_2,...,u_n

　　　が定められる時、G=<N,(S_i),(u_i)>を戦略形ゲーム(Strategic Form Game)という。

戦略形ゲームの代表的な例 †

以下に、代表的な戦略形ゲームの例を紹介する。1列目がプレイヤー1の、1行目がプレイヤー2の戦略を表す。プレイヤー1は行列の行を、プレイヤー2は列をそれぞれ選択する*1。また、マス目の数字はそれぞれ左側がプレイヤー1の、右側がプレイヤー2の利得を表す。

• 囚人のジレンマ(Prisoner's Dilemma)

  1＼2	黙秘	自白
  黙秘	4,4	0,5
  自白	5,0	2,2

• 両性の争い(Battle of the Sexes)

  1＼2	サッカー	バレエ
  サッカー	2,1	0,0
  バレエ	0,0	1,2

• 硬貨合わせゲーム(Matching Pennies)

  1＼2	表	裏
  表	1,-1	-1,1
  裏	-1,1	1,-1

• じゃんけん(paper, rock, scissors)

  1＼2	グー	チョキ	パー
  グー	0,0	1,-1	-1,1
  チョキ	-1,1	0,0	1,-1
  パー	1,-1	-1,1	0,0

このように、プレイヤーが2人で各プレイヤーの戦略の個数が有限の場合、行列を用いて表現できる。このようなゲームをm×n双行列ゲーム(Bimatrix Game)と言う（プレイヤー1の戦略がm個、プレイヤー2の戦略がn個の場合）。上の3つの例は2×2双行列ゲーム、じゃんけんは3×3双行列ゲームである。

プレイヤーが3人の場合も行列を用いて表現できる。その場合、プレイヤー3は以下のように表を選択する。

戦略の支配 †

囚人のジレンマでプレイヤー1の立場に立って考えてみる。

支配戦略均衡

支配の繰り返し(Iterated Dominance) †

ナッシュ均衡(Nash Equilibrium) †

混合戦略(Mixed Strategy) †